日前，北京理工大学数学与统计学院博士后邓杨肯迪博士（第一作者）与北京邮电大学邸博宁助理教授、中国科学院数学与系统科学研究院范晨捷副研究员、北京理工大学赵泽华教授合作，在数学领域顶级期刊《Journal of Functional Analysis》上发表了题为《Bilinear estimate for Schrödinger equation on ℝ × 𝕋》的研究论文。该论文深入研究了波导流形ℝ × 𝕋 上薛定谔方程的双线性Strichartz估计，证明了在超越半经典时间尺度下的新型双线性估计，并揭示了其最优性，为相关非线性问题的研究提供了关键的分析工具。
非线性薛定谔方程作为现代数学物理与调和分析的核心模型之一，长期以来受到包括菲尔兹奖得主Bourgain、陶哲轩等国际顶尖数学家的高度关注与深入研究。其中，描述线性薛定谔解时空正则性的Strichartz估计及其双线性推广，是理解方程解行为、建立非线性问题适定性与散射理论的基础。在欧氏空间ℝⁿ和环面𝕋ⁿ上，此类估计已有丰富成果，但介于两者之间的“波导”型乘积流形（如ℝ × 𝕋）上的精细估计仍具挑战性，也蕴藏着独特的数学现象。
本文的核心贡献在于，针对波导流形 ℝ × 𝕋 上的线性薛定谔方程，建立了一个关于频率局部化函数的双线性乘积的时空范数估计。与以往研究多局限于“半经典时间尺度”（即时间长度 ∼ 𝑅⁻¹，𝑅为频率尺度）不同，本文成功将估计的有效时间范围拓展至更长的尺度。这一突破意味着在更长的时间范围内，仍能有效控制两个不同频率块解之间的相互作用。研究通过构造反例证明，所得估计在指标意义下是尖锐的（sharp）。此外，论文还推导出一系列关于不同时间尺度与空间指标下的推论，系统刻画了双线性相互作用在波导上的时空行为。审稿意见认为：“这个结果和证明都很有趣，文章写得非常好…强烈建议发表。”
论文信息： Yangkendi Deng, Boning Di, Chenjie Fan, Zehua Zhao. Bilinear estimate for Schrödinger equation on ℝ × 𝕋. Journal of Functional Analysis, 2025. DOI: https://doi.org/10.1016/j.jfa.2025.111312
团队与作者简介：
北京理工大学数学与统计学院微分方程理论与应用团队长期致力于偏微分方程、调和分析及其交叉领域的前沿研究，近年来在色散方程、流体力学方程等方面取得了一系列重要成果，发表在Communications in Mathematical Physics、Archive for Rational Mechanics and Analysis、Journal of Functional Analysis等国际权威期刊上。
邓杨肯迪，北京理工大学数学与统计学院博士后，合作导师为赵泽华教授；本科与博士分别毕业于清华大学、中国科学院大学，并于中国科学院数学与系统科学研究院做博士后，合作导师分别为燕敦验教授与范晨捷副研究员；主要从事调和分析、偏微分方程等领域的研究，成果发表于《J. Funct. Anal.》《JGA》《JDE》等国际权威期刊；主持博士后面上项目与国家自然科学基金青年项目。
赵泽华，北京理工大学数学与统计学院院长助理、教授、博士生导师，长期致力于偏微分方程领域的研究，在色散方程、多体问题及随机色散方程等方向上取得了多项重要进展；已发表学术论文30余篇，成果发表于《Comm. Math. Phys.》《Peking Math. J.》《SIAM J. Math. Anal.》《Ann. Henri Poincaré》《Comm. Partial Differential Equations》《J. Funct. Anal.》《Int. Math. Res. Not.》《Math. Z.》等国际权威学术期刊；主持和参与多项国家自然科学基金项目、天元重点项目、北京市面上项目，于2022年入选国家级青年人才计划，于2025年获批国家重点研发青年项目。
