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教师解决的数学猜想

胡峻教授解决的“广义Dipper-James-Murphy猜想”

发布日期:2012年04月10日
  Dipper-James-Murphy猜想是代数学的表示理论中一个关于非半单的Bn型Hecke代数的单模个数的组合参数化的问题。1995年Dipper,James和Murphy在论文“Hecke algebras of type Bnat roots of unity, Proc. London. Math. Soc., 70(3) 1995, 505--528”中猜想具有参数(Q, q)的Bn型Hecke代数的单模可以用n的所有(Q, q)限制的双剖分自然参数化,这等价于断言Kleshchev双剖分与(Q, q)限制的双剖分这两个组合对象吻合。由于(Q, q)限制的双剖分是一个非递归刻划的组合对象,而Kleshchev双剖分只有一个递归的组合刻划,因此这个猜想能给出Bn型Hecke代数的单模(及Kleshchev双剖分)的非递归刻划。而寻找Hecke代数的模不可约表示的非递归的参数化一直是Hecke代数的模表示理论中的一个核心问题。

    这个看似纯粹组合的问题其实际难度和涉及面远远超出一般的想象。直到2008年Ariki,Kreiman与Tsuchioka才在论文“On the tensor product of two basic representations of  Uv(sle), Adv. Math. 218 (2008),28–86”中首次找到了Kleshchev双剖分的一个非递归刻划,其证明用到了仿射量子群的可积最高权表示的晶体基以及Littelmann的道路模型的一系列深刻结果。在此基础上,Ariki与Jacon给出了Dipper-James-Murphy猜想的证明,见“Representation Theory of Algebraic Groups and Quantum Groups,Progress in Mathematics,2011,Volume 284,17-32”。

    上述Dipper-James-Murphy猜想有一个自然的高水平推广:广义DJM猜想具有参数(Q1,…,Qr; q)的G(r,1, n)型的分圆Hecke代数的单模可以用n的所有(Q1,…,Qr; q)限制的r-剖分自然参数化。等价地,Kleshchev r-剖分与(Q1,…,Qr; q)限制的r-剖分这两个组合对象吻合。

    广义DJM猜想对于分圆Hecke代数的模表示理论以及李型有限群在非定义特征域上的模表示理论均有重要意义。原始的Dipper-James-Murphy猜想相当于广义DJM猜想中r=2的情形,但是Ariki-Kreiman-Tsuchioka以及Ariki-Jacon的方法无法直接推广到任意的r >2的情形。

    最近,胡峻在广义DJM猜想的研究上取得了重要进展。利用Littelmann的道路模型的深刻理论,他给出了当e=0,r任意时的广义DJM猜想的证明,并为证明任意e的广义DJM猜想指明了方向。论文“On a generalisation of the Dipper-James-Murphy conjecture ”于2011年发表在高水平国际SCI刊物“Journal of Combinatorial Theory,Series A”上,并被Jacon在他的大博士学位(Habilitation àdiriger des recherches)论文“Algèbres de Hecke, cristaux et bases canoniques de groupes quantiques”中引用。就此结果他应邀于2009年7月24日在天津南开大学举办的“The International Workshop on Quantized Algebras and Physics”国际学术会议上做大会报告。

    胡峻是我校数学与统计学院教授,博导,2004年度教育部新世纪优秀人才支持计划入选者。他主要从事代数群、量子群以及Hecke代数的结构与表示理论的研究。在这些代数学的前沿领域,他取得了一系列系统性、创新性的研究成果,在国际同行中产生显著影响。

    胡峻的研究领域属于现代数学的主流分支,竞争激烈。其工作跨学科、交叉性强、难度大,需要艰深的代数和几何知识。他对重要的困难问题锲而不舍,敢于与国际一流的数学家们竞争。据了解,上述广义DJM猜想的证明初稿早在2008年底就已完成,其后经过了反反复复的修改。

    对未来,他充满希望:“感到自己正处在学术创造的高峰期,一定能做出更好的工作!”